Règlementation du tirage

Le tirage au sort du Secret Santa est réalisé par un algorithme pseudo-aléatoire produisant, à chaque exécution, une permutation uniforme sur l'ensemble des appariements valides, c'est-à-dire respectant les contraintes suivantes :

1. Aucun participant ne peut se voir attribuer lui-même
2. Aucun participant ne peut se voir attribuer son/sa partenaire

Pour la composition actuelle (13 participants dont 5 couples et 3 célibataires), le nombre total de tirages distincts respectant ces contraintes est de 986 253 184 (résultat d'un calcul combinatoire avec exclusion des appariements interdits).

Chaque tirage est indépendant des tirages des années précédentes ; en particulier, la probabilité que l'intégralité du tirage d'une année soit reproduite exactement l'année suivante est égale à 1 / 986 253 184.

Probabilités individuelles

Pour un participant en couple, le nombre de destinataires possibles après application des contraintes est de n-2 = 11, d'où une probabilité de conserver le même destinataire que l'année précédente égale à 1/11 ≈ 9,09 %.

Pour un participant célibataire, le nombre de destinataires possibles est de n-1 = 12, d'où une probabilité de conserver le même destinataire égale à 1/12 ≈ 8,33 %.

Probabilités agrégées

En agrégeant ces probabilités individuelles sur l'ensemble des 13 participants, le nombre total S de personnes qui conservent le même destinataire d'une année sur l'autre suit de façon approchée une loi de Poisson de paramètre λ ≈ 10 × (1/11) + 3 × (1/12) ≈ 1,159.

On obtient ainsi à titre indicatif les probabilités suivantes :

Ces valeurs montrent qu'il est normal et attendu, d'un point de vue probabiliste, que certains participants puissent, certaines années, se voir attribuer le même destinataire que l'année précédente.